Експоненциално разпределение (определение, формула) | Как да изчислим?

Какво е експоненциално разпределение?

Експоненциалното разпределение се отнася до непрекъснатото и постоянно разпределение на вероятностите, което всъщност се използва за моделиране на периода от време, който човек трябва да изчака преди дадено събитие да се случи и това разпределение е непрекъснат аналог на геометрично разпределение, което вместо това е различно.

Формула на експоненциално разпределение

Казва се, че непрекъсната случайна променлива x (с параметър на скалата λ> 0) има експоненциално разпределение само ако нейната функция на плътност на вероятността може да бъде изразена чрез умножаване на параметъра на скалата до експоненциалната функция на минус параметър на скалата и x за всички x по-големи от или равен на нула, в противен случай функцията на плътността на вероятността е равна на нула.

Математически функцията на плътността на вероятността се представя като,

такъв, че средната стойност е равна на 1 / λ, а дисперсията е равна на 1 / λ2.

Изчисляване на експоненциалното разпределение (стъпка по стъпка)

  • Стъпка 1: Първо, опитайте се да разберете дали разглежданото събитие е непрекъснато и независимо по своята същност и се случва с приблизително постоянна скорост. Всяко практическо събитие ще гарантира, че променливата е по-голяма или равна на нула.
  • Стъпка 2: След това определете стойността на параметъра на скалата, която неизменно е реципрочната на средната стойност.
    • λ = 1 / средно
  • Стъпка 3: След това умножете параметъра на скалата λ и променливата x и след това изчислете експоненциалната функция на продукта, умножена по минус едно, т.е. e– λ * x.
  • Стъпка 4: Накрая, функцията на плътността на вероятността се изчислява чрез умножаване на експоненциалната функция и параметъра на мащаба.

Ако горната формула е вярна за всички x, по-големи или равни на нула, тогава x е експоненциално разпределение.

Пример

Можете да изтеглите този шаблон за експоненциално разпределение на Excel тук - шаблон за експоненциално разпределение в Excel

Нека вземем примера, x, който е времето, отнеме (в минути) от офис служител, за да достави от бюрото на мениджъра до бюрото на чиновника. Предполага се, че функцията за време има експоненциално разпределение със средно време, равно на пет минути.

Като се има предвид, че x е непрекъсната случайна променлива, тъй като времето се измерва.

Средно, μ = 5 минути

Следователно, параметър на мащаба, λ = 1 / μ = 1/5 = 0.20

Следователно, експоненциалната функция на вероятността за разпределение може да бъде изведена като,

f (x) = 0,20 e - 0,20 * x

Сега изчислете вероятностната функция при различни стойности на x, за да извлечете кривата на разпределение.

За x = 0

функция за експоненциално разпределение на вероятността за x = 0 ще бъде,

По същия начин се изчислява експоненциална функция на вероятността за разпределение за x = 1 до x = 30

  • За x = 0, f (0) = 0.20 e -0.20 * 0 = 0.200
  • За x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
  • За x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
  • За x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
  • За x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
  • За x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
  • За x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
  • За x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
  • За x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
  • За x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
  • За x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
  • За x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
  • За x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
  • За x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
  • За x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
  • За x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
  • За x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
  • За x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
  • За x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
  • За x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
  • За x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
  • За x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
  • За x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
  • За x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
  • За x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
  • За x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
  • За x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
  • За x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
  • За x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
  • За x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
  • За x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Получихме крива на разпределение, както следва,

Уместност и употреба

Въпреки че допускането за постоянна скорост много рядко се удовлетворява в сценариите от реалния свят, ако интервалът от време е избран по такъв начин, че скоростта да е приблизително постоянна, тогава експоненциалното разпределение може да се използва като добър приблизителен модел. Той има много други приложения в областта на физиката, хидрологията и др.

В статистиката и теорията на вероятностите изразът на експоненциално разпределение се отнася до разпределението на вероятностите, което се използва за определяне на времето между две последователни събития, които се случват независимо и непрекъснато с постоянна средна скорост. Това е едно от широко използваните непрекъснати разпределения и е строго свързано с разпределението на Поасон в Excel.